Na nossa última conversa eu discuti uma possível solução para o desafio que propus. Agora vamos à uma outra possibilidade de solução do problema utilizando um pouquinho mais de Matemática.

Para termos o choque entre os carros A e B, suas posições tem que necessariamente ser iguais, ou seja:

Sa = Sb (1)

Podemos também escrever as funções correspondentes a Sa e Sb, lembrando que a < 0:

Sa = Va.t – a.t²/2

Sb = d + Vb.t

De acordo com (1), temos:

Va.t – a.t²/2 = Vb.t+ d

Com um pouco de algebra, a equação acima fica assim:

a.t² – 2(Va-Vb).t + 2d = 0 (2)

Sabemos que uma função que usa o tempo como parâmetro precisa ter como domínio o conjunto dos reais positivos (R+), uma vez que não existe tempo negativo mesmo que a função admita tais valores. Qual seria então a condição em que a equação  (2) não tenha solução?

A resposta é simples, se a solução for complexa, o problema não tem solução, e se não tem significa que (1) nunca será verdade. Sendo assim o delta de Bhaskara tem que ser menor que zero para uma solução complexa, ou seja:

Δ < 0

Ou

B² - 4.A.C < 0 (3)

Olhando pra (2), temos os valores de A, B e C:

A = a

B = -2(Va-Vb)

C = 2d

Substituindo os valores em (3), temos:

4(Va-Vb)² - 4.a.2d < 0

(Va-Vb)² - a.2d < 0

(Va-Vb)² < 2ad

Va – Vb < √2ad

c.q.d

Solução elegante, não acham?!

Bom, você teve dois dias pra pensar um pouco sobre o problema, ao resolver-lo pela primeira vez dei uma solução baseada na equação de Torricelli e usando o conceito de velocidade relativa. Sai em menos linhas, mas necessita pensar um pouquinho mais. Vamos lá:

As primeiras considerações que devem ser feitas são que o carro A necessariamente precisa ter uma velocidade maior que B, pois se Va for menor que Vb os carros jamais se encontrarão.

Outra consideração a ser feita é sobre a velocidade relativa. Se A está atrás de B, podemos colocar o referêncial do nosso sistema de coordenadas no carro B, e dessa forma, a velocidade de aproximação, ou a velocidade relativa entre A e B fica:

Va – Vb = Vrel  (1)

Agora  suponha que exista uma distância d’ mínima em que o carro A esteja na iminência de tocar o carro B. Dessa forma, podemos usar Torricelli para determinar o deslocamento total d’ que o carro terá para chegar exatamente no ponto citado anteriormente:

Vrelf²= Vrel² + 2.a.d’  (2)

Como o carro desacelera, sabemos que a < 0. Também sabemos que a situação limite é a em que a velocidade relativa final seja nula:

Vrelf = 0

Sendo assim a equação (2) fica:

0 = Vrel² – 2.a.d’

Com um pouco de algebra, chegamos na sequinte relação:

Vrel² = 2.a.d’ (3)

Se d’ é a distância da iminência do choque, concordam que uma distância d > d’ seria uma distância onde o choque jamais aconteceria? Então fica assim:

d > d’

e por conseguinte:

2ad > 2ad’ (4)

Podemos então substituir (3) em (4) que teremos:

2ad > Vrel²

ou

Vrel² < 2ad  (5)

Substituindo (1) em (5) temos:

(Va-Vb)² < 2ad

Extraindo a raiz dos dois lados da inequação, temos:

Va – Vb < √2ad

c.q.d.

E aí galera, curtindo a conversa sobre cinemática (1, 2, 3 e 4)? Então, o post dessa terça vai ser um desafio baseado nos conhecimentos que debatemos e discutimos aqui nas últimas quatro postagens. Precisa pensar um pouco e não é tão trivial. Vamos lá.

DESAFIO: Dois carros, A e B, movem-se no mesmo sentido com velocidades Va e Vb, respectivamente. Quando o carro A está à distância d atrás de B, o motorista do carro A pisa no freio, o que causa uma desaceleração constante a. Demonstrar que, para não haver colisão entre A e B, é necessário que: Va – Vb < √2ad .

Semana que vem eu posto algumas soluções diferentes para o problema. Coloquem a resposta nos comentários e depois confiram como vocês se saíram.

Um abraço e até a quinta.

Continuando o assunto da postagem passada , vamos agora aos gráficos do MUV.

Movimento Uniformemente Variado

• Posição por tempo (Sxt)

No MUV o gráfico posição por tempo corresponde à função horária deste tipo de movimento, da forma  S(t) = S₀ + V₀.t + (a.t²)/2, e sendo assim deve mostrar 0 gráfico de uma função quadrática, afinal tem t².

No movimento uniforme a inclinação do gráfico Sxt da a informação da velocidade, no MUV isto também é verdade, mas a trigonometria mais básica não nos ajuda a descobrir a velocidade neste caso. É preciso de um pouco mais de matemática. O que não quer dizer que não nos dê nenhuma informação.

Lembra que no MUV a personagem principal é a aceleração? Então, se a aceleração é positiva, isso significa que a velocidade aumenta e se negativa, significa que a velocidade diminui. Repare, no gráfico anterior, que a parábola decresce ao invés de aumentar para a<0, ou seja, sua inclinação vai diminuindo.

• Velocidade por tempo (Vxt)

No MUV, o gráfico que mais nos dá informações é o gráfico Vxt. Como vimos no MU, a área debaixo do gráfico é capaz de nos dizer o deslocamento, isso também vale no MUV. Contudo como a velocidade passa a ser, também uma função horária, v(t) = v₀ + a.t, o gráfico não será paralelo ao eixo do tempo e terá a cara de uma reta com inclinação.

Um detalhe importante é notar a direção do gráfico, pois o sinal da aceleração influencia.

Outra funcionalidade do gráfico Vxt, é descobrir o módulo aceleração, vamos lá:

Veja que similarmente ao que fizemos no gráfico Sxt do MU, vamos extrair a tangente daquele trianglinho cor de “burro-quando-foge” do gráfico.

Tgθ = ΔV/Δt

Ou seja, como:

a = ΔV/Δt

Tgθ = a

No gráfico Vxt, a inclinação é a aceleração

Pra descobrir o deslocamento, o papo é o mesmo do MU: área debaixo da curva. O único complicador é que agora não vai ser área do retângulo. Pode aparecer área do triângulo para um móvel partindo do repouso ou área do trapézio para um móvel com velocidade inicial não-nula.

Aceleração por tempo (axt)

O gráfico aceleração por tempo por sua vez deve ser uma função constante, lembrando que a aceleração é constante no MUV, e assim, o gráfico ficará paralelo ao eixo do tempo:

E qual informação podemos extrair do gráfico axt? Bem, podemos tentar calcular a área debaixo da curva e ver no que dá:

A área em questão é a do retângulo formado no intervalo de tempo Δt = t2 – t1, pela área do retângulo temos:

Área = base x altura

Área = (t2 – t1).(a-0)

Área = Δt.a   (1)

Entretando, pela definição de aceleração temos que:

a = ΔV/Δt

multiplicando cruzado tempos que

ΔV = Δt.a   (2)

Substituindo (1) em (2), temos

Área = ΔV

No gráfico axt a área debaixo da curva é a variação da velocidade

Até a próxima!

E ai galera, vamos falar um pouco sobre a relevância de gráficos de MU e MUV? Como o assunto pode ficar grandinho, vou separar em duas postagens, essa e a próxima.

Gráficos dão uma representação visual para o movimento e dentro deles existem várias informações que nos ajudam a resolver alguns problemas.

Movimento Uniforme:

- O gráfico Posição x Tempo (Sxt)

O gráfico Sxt no MU corresponde à função horária do movimento representada gráficamente. Contudo, se tomarmos dois pontos S1 e S2 distintos no gráfico, vemos que, de acordo com a função horária do MU, temos um triângulo bem definido.

Repare que o cateto oposto ao ângulo α é justamente S2 – S1, ou seja, ΔS. Repare agora que o cateto adjacente é t2 – t1, ou seja, Δt.

Dessa forma temos:

cat. oposto = S2 – S1 = ΔS

cat. adjacente = t2  -t1 = Δt

Se você seguiu a dica do perguntas e respostas, vai lembrar a relação:

cat. oposto/cat. adjacente = Tgα

E temos

Tgα = S2 – S1/t2  -t1 = ΔS/Δt (1)

Da cinemática, temos que

Vm = ΔS/Δt (2)

Substituindo (1) em (2), temos:

Tgα = Vm

A inclinação nos dá a velocidade do móvel representado no gráfico.

- O gráfico Vxt

Uma das características importantes do MU é o fato de a velocidade ser sempre constante. Dessa forma, o gráfico Vxt deve representar uma função constante, sem inclinação e paralelo ao eixo do tempo:

Se tomarmos dois instantes distintos t1 e t2, podemos observar que a figura formada é uma velha conhecida nossa:

Agora, o que significa essa área hachurada? Vamos descobrir?

Lembrando que a área do retângulo é base x altura, temos que a base é t2-t1, e a altura é V – 0. Dessa forma temos que:

(t2-t1)x(V-0) = Área

Como t2 – t1 = Δt

Δt.V = Área (1)

Da cinemática, temos que

Vm.Δt = ΔS (2)

Como no MU a velocidade média é a própria velocidade e substituindo  (1) em (2)

Área = ΔS

A área embaixo de um gráfico Vxt corresponde ao deslocamento do móvel representado dentro dos intervalos de tempos citados.

Até a próxima.

Bom, começando o ano vem sempre aquele papo de revisão dos tópicos mais importantes e já que estamos nessa época vamos ver se colocamos os pingos nos i’s. Sempre que temos de falar em revisão o melhor assunto pra começar é Movimento Retilíneo Uniforme e Movimento Uniformemente Variado. Os famigerados MU e MUV.

E pra acabar com a conversa fiada, vamos fazer uma listinha do que é importante saber em cada caso? Vamos lá:

Movimento Uniforme (MU):

• Velocidade constante
• Aceleração nula
• Posição varia linearmente

Equações do MU:

• Posição:                                   S(t) = S₀ + v.t
• Velocidade média:              v = ΔS/Δt

Movimento Uniformemente Variado (MUV):

• Velocidade varia linearmente
• Aceleração constante
• Posição varia quadráticamente

Equações do MUV:

• Posição:                                   S(t) = S₀ + V₀.t + (a.t²)/2
• Velocidade:                            v(t) = v₀ + a.t
• Aceleração média:               a = Δv/Δt

É importante lembrar que ainda existe uma outra equação do MUV que surge através da parametrização do tempo nas equações de posição e velocidade que citamos acima. Em miúdos, você isola o tempo nas duas equações e substitui uma na outra, e vai surgir a famosa equação de Torricelli. Que afinal é uma equação onde não aparece o tempo:

• Torricelli:                                v²= v₀² + 2.a.ΔS

Vale também dar uma olhada no post do Eduardo sobre cinemática.

Por hoje é só pessoal, até a próxima. Dica? Gráficos de MU e MUV.

Bom dia galera! Estudando muito para as provas? É isso aí, não podemos dar mole!

Bom, hoje começaremos nossa revisão para o Enem.

Para entendermos os conceitos físicos (dessa e das outras partes da matéria ) temos primeiramente que verificar as grandezas envolvidas na nossa análise . A cinemática estuda os movimentos dos corpos, sendo principalmente os movimentos lineares e circulares os objetos do nosso estudo. Começaremos hoje pelos conhecidos M.R.U. e M.R.U.V. .

Bom, temos que saber as nossas grandezas, certo? Temos 4 delas envolvidas, que são:

-Deslocamento (ΔS)

-Velocidade ( V )

-Tempo (Δt)

-Aceleração ( a )

Com posse dessas informações, vamos começar a relacioná-las entre si, de um jeito fisicamente lógico, para entendermos o nosso movimento.

No M.R.U. , temos um movimento que não sofre variações, nem de direção (ele é retilíneo né?) e nem sofre mudanças na sua velocidade (vemos que a aceleração não entra nessa nossa análise). Pela nossa experiência, sabemos que quanto mais rápido andarmos e se andarmos por mais tempo, chegaremos mais longe. Portanto, podemos relacionar as nossas grandezas da seguinte forma:

ΔS= V.Δt

No M.R.U.V. , temos agora a introdução da aceleração (ele é uniformemente variado). Sabemos, também, que se quanto mais acelerarmos (ou seja, aumentarmos ou diminuirmos a velocidade  [ a relação entre velocidade e aceleração se da pela formula : a=ΔV/Δt] ) andaremos mais ou menos certo? Fazemos a nossa relação agora por meio da seguinte equação:

ΔS= V₀.t + ½.a.t²

Vemos que o nosso deslocamento aumenta ou diminui conforme variamos as nossas (desculpe o trocadilho rs) variáveis. Entender o que acontece na realidade é de fundamental importância para entendermos as formulas e como aplicá-las nos exercícios.

Temos outra relação entre essas variáveis, que é dada pela formula:

V²= V₀² + 2.a.ΔS

Nessa equação (conhecida como Torricelli) não temos a variável do tempo, o que pode nos ajudar em algumas questões, quando o tempo não é uma informação dada, por exemplo.

Antes de finalizarmos, gostaria de fazer algumas observações, para nos entendermos melhor.

O nosso objetivo é o de revisar a matéria, explicações de como chegamos a essas formulas que vimos ai em cima não são para esse momento. O importante é vc’s entenderem o conceito físico aplicado e perceberem que as equações são um tratamento matemático para as esses conceitos na realidade.

Como elas são equações, podemos sempre desenhar gráficos para elas, tais como SxT ou VxT. Ao se deparar com esses gráficos, não se assustem, apenas usem as propriedades aprendidas nas aulas de matemática, e verão que as informações se transformam em algo de fácil manipulação.

Mais uma coisinha:

SEMPRE prestem atenção nos sinais das suas variáveis! Se você considera sua velocidade para a direita como sendo positiva, por exemplo, e o carrinho tem movimento acelerado retardado (ou seja, ele freia) o sinal do seu “a” será negativo, pois ela estará apontando contra o movimento!

Na verdade, mais duas coisinhas hehehe.

SEMPRE prestem atenção nas unidades!!!

Em breve postarei as principais unidades no S.I. (Sistema Internacional) para vc’s decorarem elas. Ok?

Bom galera, por hoje ficamos por aqui. Meu email é eduardo@descomplica.com.br , qualquer coisa, podem mandar. Estou no twitter, lá eu sempre avisarei sobre novidades dos vestibulares e atualizações aqui do blog. E sintam-se em casa para deixar seus comentários ai em baixo.

Abraços e beijos. Até a próxima!

O áudio tá lá embaixo! Vai lá dar “play” e acompanhar as figuras.

O tema é velocidade relativa – nível básico.

Na semana que vem eu coloco aqui uns exercícios.

Bom estudo!

Figura 1:

Figura 2:

Figura 3:

Equação 2: Móveis no mesmo sentido. Valores em módulo!

Equação 3: Móveis em sentidos opostos. Valores em módulo!

Figura 4: Mesmo sentido. Vrel = 12 -4 = 8m/s

Figura 5: Sentidos opostos. Vrel = 12 + 4 = 16m/s