Tudo bem? =)

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Hoje vamos ver as principais fórmulas e conceitos de geometria no universo matemático de forma resumidinha. Estão prontos?

Vamos nessa!

1) Ângulos em retas paralelas

2) Triângulos

Classificação:

Ângulos:

Segmentos e pontos notáveis:

Casos de congruência de triângulos:

Casos de semelhança de triângulos:

3) Polígonos

4) Triângulo retângulo

5) Triângulo qualquer

6) Circunferência

7) Áreas

Como vamos com esses números, hein?

Hoje, nós vamos falar um pouquinho sobre a trigonometria no triângulo retângulo e o círculo trigonométrico. Estão prontos? Vamos começar!

-  Triângulo retângulo

-Definições

- Ângulos notáveis

- Medidas de arcos

- Círculo trigonométrico

* Quadrantes

* Relações fundamentais

* Transformações trigonométricas

Bom, por hoje é só!

ATENÇÃO: EM BREVE DESCONVERSA DE MATEMÁTICA COM NOVIDADES. FIQUEM LIGADOS!

Até a próxima!

(fonte Uol Vestibular)

Conforme o prometido, aqui vai a segunda parte (confira a primeira parte) sobre sistemas!

Vamos lá?

O Método da Substituição

O sistema do problema que vimos foi resolvido pelo método da substituição.

Vamos nos deter um pouco mais no estudo desse método prestando atenção na técnica de resolução.

Agora, vamos apresentar um sistema já pronto, sem a preocupação de saber de onde ele veio. Vamos, então, resolver o sistema:

Para começar, devemos isolar uma das letra em qualquer uma das equações.

Observando o sistema, vemos que o mais fácil é isolar a incógnita y na segunda equação; assim:

Isso mostra que o valor de y é igual a 4x – 11. Assim, podemos trocar um pelo outro, pois são iguais. Vamos então substituir y por 4x – 11 na primeira equação.

Temos agora uma equação com uma só incógnita, e sabemos o que temos de fazer para resolvê-la:

Já temos o valor de x. Repare que logo no inicio da solução tínhamos concluido que y = – 11 + 4x. Então, para obter y, basta substituir x por 4.

A solução do nosso sistema é, portanto, x = 4 e y = 5.

3x + 2y = 22

4x – 0y = 11 x = 4, y = 5

Tudo confere. Os valores encontrados estão corretos.

Outra coisa que desejamos esclarecer é que isolamos a incógnita y na segunda equação porque isso nos pareceu mais simples. No método da substituição, você pode isolar qualquer uma das duas incógnitas em qualquer das equações e, depois, substituir a expressão encontrada na outra equação.

Para compreender o método da adição, vamos recordar inicialmente o que significa somar duas igualdades membro a membro. Se temos:

e

C = D

Podemos somar os dois lados esquerdos e os dois lados direitos, para concluir:

A + C = B + D

Considere agora o seguinte problema.

“Encontrar 2 números, sabendo que sua soma é 27 e que sua diferença é 3.”

Para resolvê-lo, vamos chamar nossos números desconhecidos de x e y. De acordo com o enunciado, temos as equações:

Veja o que acontece quando somamos membro a membro as duas equações:

Encontramos o valor de x. Para encontrar o valor de y vamos substituir x por 15 em qualquer uma das equações. Por exemplo, na segunda:

A solução do nosso problema é, portanto, x = 15 e y = 12.

O método da adição consiste em somar membro a membro as duas equações, com o objetivo de eliminar uma das incógnitas. No sistema que resolvemos, a incógnita y foi eliminada quando somamos membro a membro as duas equações. Mas isso freqüentemente não acontece dessa forma tão simples. Em geral, devemos ajeitar o sistema antes de somar.

Vamos mostrar a técnica que usamos resolvendo o seguinte sistema:

Para começar, devemos escolher qual das duas incógnitas vamos eliminar.

Por exemplo, o y será eliminado.

Para que o y seja eliminado, devemos trocar os sinais de uma das equações e depois somá-las membro a membro.

Veja:

Em seguida, substituimos esse valor em qualquer uma das equações do sistema. Por exemplo, na primeira.

8 · 3 + 3y = 21

24 + 3y = 21

3y = 21 – 24

3y = – 3

3y/3 = -3/3

y = – 1

A solução do nosso sistema é, portanto, x = 3 e y = -1

Viram como é fácil? Gostaram? Então, deixe um comentário!

Antes de tudo, gostaria de informá-los que o Descomplica está com 50% de DESCONTO!! Gente, não vamos marcar bobeira, estudar nunca é demais! Não há maneira mais fácil de estudar, sério.

Voltando ao post… Andam muito cansados? Desanimados? Podem até andar, mas perdidos não estão, porque depois daquele guia de estudos não tem como!

Hoje vamos abordar a resolução de sistemas. Conteúdo certo no vestibular, logo, precisa de nossa máxima atenção! O Post será divido em duas partes, para facilitar a assimilação da matéria em seus neurônios. Vamos começar?

Nas equações de 1º grau (ver parte 1, parte 2), cada equação tinha uma incógnita, em geral representada pela letra x. Sabemos também que qualquer equação com duas incógnitas (x e y) não pode ser resolvida porque, para cada valor de x, podemos calcular um valor diferente para y. Por exemplo, na equação 2x + y = 20, se fizermos x = 3 e x = 6 então teremos, respectivamente:

2 · 3 + y = 20 ; y = 20 – 6 = 14

2 · 6 + y = 20 ; y = 20 – 12 = 8

e assim por diante.

Sistemas Matemáticos

Vemos então que, para saber os valores corretos de x e y precisamos de uma outra informação a respeito das nossas incógnitas. Se conseguimos obter duas equações a respeito das mesmas incógnitas, temos um sistema.

Por exemplo:

É um sistema de duas equações nas incógnitas x e y. É possivel resolver esse sistema, ou seja, é possivel descobrir quais são os valores de x e y que satisfazem às duas equações simultaneamente.

Você pode verificar que x = 6 e y = 8 é a solução do nosso sistema, substituindo esses valores nas duas equações, temos:

Nesta aula vamos aprender a resolver sistemas de duas equações com duas incógnitas.

Mas, antes, vamos perceber que, para serem resolvidos, muitos problemas dependem dos sistemas.

Sistemas aparecem em problemas

Para que você perceba que os sistemas aparecem em problemas simples, imagine a situação a seguir.

Pedro e Paulo conversam despreocupadamente quando chega José, um amigo comum, que está para se aposentar. José fala sobre as idades das pessoas que se aposentam e percebe que os dois amigos aindam estão longe da aposentadoria. Então, ele pergunta:

- Que idade vocês têm?

Pedro, o mais velho, percebendo um pequeno erro na pergunta, responde:

A conversa, então, segue assim:

José – Como? Você está brincando comigo. Esse aí não passa de um garoto e você certamente não chegou aos 50.

Pedro – Da maneira que você perguntou, eu respondi. Nós, eu e Paulo, temos juntos 72 anos.

José – Está bem, eu errei. Eu devia ter perguntado que idades vocês têm. Mas, pela sua resposta, eu não consigo saber as idades de cada um.

Pedro – É claro que não. Você tem duas coisas desconhecidas e apenas uma informação sobre elas. É preciso que eu lhe diga mais alguma coisa e, aí sim, você determina nossas idades.

José – Diga.

Pedro – Vou lhe dizer o seguinte. A minha idade é o dobro da de Paulo. Agora, José, você tem duas coisas desconhecidas, mas tem também duas informações sobre elas. Com a ajuda da matemática, você poderá saber nossas idades.

Vamos pensar um pouco no sistema apresentado. José tem duas coisas a descobrir: a idade de Pedro e a idade de Paulo. Essas são suas incógnitas.

Podemos então dar nomes a essas incógnitas:

idade de Pedro = x

idade de Paulo = y

A primeira informação que temos é que os dois juntos possuem 72 anos.

Então, nossa primeira equação é:

x + y = 72

A outra informação que temos é que a idade de Pedro é o dobro da idade de Paulo. Com isso, podemos escrever a nossa segunda equação:

x = 2y

Essas duas equações formam o nosso sistema:

x + y =72

x =2y

Esse sistema, por simplicidade, pode ser resolvido sem necessidade de nenhuma técnica especial. Se a segunda equação nos diz que x é igual a 2y, então substituiremos a letra x da primeira equação por 2y. Veja.

Como x = 2y, então x = 2 · 24 = 48. Assim, concluimos que Pedro tem 48 anos e que Paulo tem 24.

(fonte Mundo Vestibular)

Antes de tudo, gostaria de informá-los que o Descomplica está com 50% de DESCONTO!! Gente, não vamos marcar bobeira, estudar nunca é demais! Não há maneira mais fácil de estudar, sério.

Voltando ao post… Estamos de férias, Enem chegando, muita coisa para estudar…

Tem alguém apavorado aí? Tinha…

Hoje, separei um esqueminha de estudos com as principais matérias que vocês devem estudar ANTES do vestibular. Ao longo dos próximos posts, buscarei seguir esse esquema para ajudá-los ainda mais nessa batalha! Portanto, anotem aí e vamos começar para ontem!

Conjuntos Numéricos

Trigonometria

Geometria Plana

Geometria Espacial

1 – Figuras geométricas espaciais: retas e planos no espaço, ângulos diédricos e poliédricos, poliedros convexos, poliedros regulares.

Funções

Polinômios

Sistemas Lineares e Matrizes

Geometria Analítica

Então, espero que esse esquema diminua um pouquinho seu desespero =)

Até semana que vem !

(fonte Mundo Vestibular)

Como estamos com esses estudos durante as férias? Sei que é chato, mas bola para frente que em abril temos uma batalha a ser vencida: o Enem 2012!

Para hoje, trago um resumo sobre números primos retirado do site Mundo Vestibular. Vamos que vamos!

Devemos antes de tudo lembrar o que são números primos. Definimos como números primos aqueles que são divisíveis apenas por 1 e ele mesmo. Um número seja maior do que 1 que não seja primo é chamado de composto.

Exemplos:

Atenção:

Exemplo:

36 tem mais de dois divisores então 36 é um número composto.

Como saber se um número é primo

Devemos dividir o número dado pelos números primos menores que ele, até obter um quociente menor ou igual ao divisor. Se nenhum das divisões for exata, o número é primo.

Decomposição em fatores primos

Todo número natural, maior que 1, pode ser escrito na forma de uma multiplicação em que todos os fatores são números primos. É o que nós chamamos de forma fatorada de um número

Decomposição do número 36:

No produto 2 x 2 x 3 x 3 todos os fatores são primos.

Chamamos de fatoração de 36 a decomposição de 36 num produto de fatores primos.

Determinação dos divisores de um número

Na prática determinamos todos os divisores de um número utilizando os seus fatores primos.

Vamos determinar, por exemplo, os divisores de 72:

1º Fatoramos o número 72.

2º Traçamos uma linha e escrevemos o 1 no alto, porque ele é divisor de qualquer número.

3º Multiplicamos sucessivamente cada fator primo pelos divisores já obtidos e escrevemos esses produtos ao lado de cada fator primo.

4º Os divisores já obtidos não precisam ser repetidos.

Então o conjunto dos divisores de 72 = {1,2,3,4,6,8,9,12,18,36,72}

Então, pessoal, por hoje é só!

Até logo!

Para hoje, selecionamos uma vídeo aula muito bacana sobre conceitos gerais de P.A! É do site Descomplica, então, já sabem que melhor qualidade, impossível!

Vamos nessa!

Assista ao vídeo

Por essa semana, é só!

Até mais!

Como estamos com os estudos? Hoje, a equipe Desconversa selecionou um resuminho sobre porcentagem retirado do site Vestibulando Web.

Boa leitura!

Em conversa com um amigo, ele me diz:

O meu aluguel subiu R$ 200,00.

Para avaliarmos se o aumento foi grande ou pequeno, é preciso compararmos o acréscimo com o valor anterior do aluguel. Isto pode ser feito analisando o quociente entre os dois valores.

Assim, se o valor do aluguel era R$ 1 000,00 esta razão é 20/100  , que costumeiramente analisamos deixando o denominador da fração igual a 100.

Interpretamos a razão dizendo que se o aluguel fosse R$ 100,00, o aumento teria sido de R$ 20,00. Este modo de compararmos dois números tomando o 100 como padrão, utilizado desde o século XVII e denominado porcentagem é o que estudaremos a seguir.

2. Definição

Porcentagem é uma fração de denominador centesimal, ou seja, é uma fração de denominador 100. Representamos porcentagem pelo símbolo % e lê-se: “por cento”.

Deste modo, a fração 20/100  é uma porcentagem que podemos representar por 20%.

3. Forma decimal

É comum representarmos uma porcentagem na forma decimal, por exemplo, 75% na forma decimal seria representado por 0,75.

4. Cálculo de uma porcentagem

Para calcularmos uma porcentagem p% de V, basta multiplicarmos a fração por V.

p% de V = X V

Exercícios Resolvidos:

01) (Fuvest-SP) (10%)2 =

a) 100%                 d) 1%

b) 20%                   e) 0,1%

c) 5%

*

*

*

*

*

Resolução

Resposta: D

02) (Unicamp-SP) Como se sabe, os icebergs são enormes blocos de gelo que se desprendem das geleiras polares e flutuam pelos oceanos. Suponha que a parte submersa de um iceberg corresponda a 8/9 do seu volume total e que o volume da parte não submersa é de 135 000 m3.

a) Calcule o volume total do iceberg.

b) Calcule o volume de gelo puro do iceberg supondo que 2% de seu volume total é constituído de “impurezas”, como matéria orgânica, ar e minerais.

*

*

*

*

*

*

Resolução

V = volume total do iceberg

a)

Conforme o prometido, aqui vai a continuação do post que a equipe Desconversa selecionou especialmente para você descomplicando as equações do primeiro grau!

Boa leitura!

Exemplo:

3x – 5 = 0 (a = 3 e b = –5)

Para resolvermos uma equação do 1º grau, devemos isolar a incógnita em um dos membros da igualdade, usando as propriedades P1 e P2 do item anterior.

Exemplo:

3x – 5 = 0

3x – 5 3x – 5 + 5 = 0 + 5

3x – 5 = 0 3x = 5

3x = 5

3x = 5 

Assim: 3x – 5 = 0 

De modo abreviado, fazemos:

3x – 5 = 0  3x = 5 

Assim:

Podemos estabelecer uma fórmula para resolver em R a equação:

Assim:

ax + b = 0 ax = -b

Exemplo:

Resolver em R a equação:

2x + 5 = 0

4. Problemas do 1º Grau

Problema é uma proposição a resolver, na qual figuram elementos conhecidos ou supostamente conhecidos, chamados dados, e elementos desconhecidos, chamados incógnitas.

Resolver um problema é determinar os valores das incógnitas que satisfazem às condições impostas pelo enunciado.

A resolução de um problema possui três fases:

1) Colocar o problema em equação;

2) Resolver a equação ou equações do problema;

3) Interpretar os resultados ou fazer uma discussão sobre eles.

Exercícios Resolvidos

Resolver as equações:

01) 3x – 5 = 2x + 6

02) 2 (x + 3) + 3 (x – 1) = 7 (x + 2)

*

*

*

*

*

*

*

Resolução:

1) 3x – 2x = 6 + 5

x = 11

S = {11}

2) 2x + 6 + 3x – 3 = 7x + 14

2x + 3x – 7x = 14 + 3 – 6

–2x = 11

]]> http://www.desconversa.com.br/matematica/resumo-equacoes-de-primeiro-grau-ii/feed/ 0 http://www.desconversa.com.br/matematica/resumo-equacao-do-primeiro-grau/ http://www.desconversa.com.br/matematica/resumo-equacao-do-primeiro-grau/#comments Tue, 03 Jan 2012 19:03:45 +0000 Meliande http://www.desconversa.com.br/matematica/?p=944 Olá, meus amigos!

Como fomos de ano novo? O ano mal começou e 2012 já nos reserva uma surpresinha: a prova da FUVEST 2012! Então, nada melhor que começar o ano fazendo uma revisão sobre equações do primeiro grau. Claro, o tema é fácil, mas nunca é demais  darmos uma olhada e tirarmos nossas últimas dúvidas. Para isso, a equipe Desconversa selecionou um post com tudo explicadinho do site Vestibulando Web.

Bons estudos!

1. Introdução

Consideremos as três igualdades abaixo:

Dizemos que as duas primeiras igualdades são sentenças matemáticas fechadas, pois são definitivamente falsas ou definitivamente verdadeiras. No caso, a primeira é sempre verdadeira e a segunda é sempre falsa.

Dizemos que a terceira igualdade é uma sentença matemática aberta, pois pode ser verdadeira ou falsa, dependendo do valor atribuído à letra x. No caso, é verdadeira quando atribuímos a x o valor 3 e falsa quando o valor atribuído a x é diferente de 3. Sentenças matemáticas desse tipo são chamadas de equações; a letra x é a variável da equação, o número 3 é a raiz ou solução da equação e o conjunto S = {3} é o conjunto solução da equação, também chamado de conjunto verdade.

Exemplos:

2. Resolução de uma Equação

Resolver uma equação é determinar todas as raízes da equação que pertencem a um conjunto previamente estabelecido, chamado conjunto universo.

1º) Resolver a equação:

As raízes reais da equação são –2 e +2, assim:

2º) Resolver a equação:

x2 = 4 em N

A única raiz natural da equação é 2, assim:

Na resolução das equações, podemos nos valer de algumas operações e transformá-las em equações equivalentes, isto é, que apresentam o mesmo conjunto solução, no mesmo universo.

Vejamos algumas destas propriedades:

P1) Quando adicionamos ou subtraímos um mesmo número aos dois membros de uma igualdade, esta permanece verdadeira.

Consequência:

Observemos a equação:

x + 2 = 3

Subtraindo 2 nos dois membros da igualdade, temos:

x + 2 = 3 x + 2 -2 = 3 – 2

Assim:

x + 2 = 3 x = 1

P2) Quando multiplicamos ou dividimos os dois membros de uma igualdade por um número diferente de zero, a igualdade permanece verdadeira.

Consequência:

Observemos a equação:

–2x = 6

Dividindo por –2 os dois membros da igualdade, temos:

Assim:

-2x = 6 x = -3

Bom, pessoal, quinta-feira voltamos com a continuação desse tema. Até logo!