Olá, guerreiros!

Hoje, a equipe Desconversa selecionou uma vídeo aula do site Descomplica de grande relevância, a qual descomplica a questão 19 da prova amarela do ENEM 2006. Fiquem atentos e boa aula!

Assista a aula

No último final de semana a balada que mais “bombou” para os estudantes brasileiros, principalmente os do Rio de Janeiro, foi a segunda fase do vestibular da Universidade Federal Fluminense, a UFF.

Prova bem formulada, não muito cansativa, tranquila de se fazer. Espero que os leitores do Desconversa tenham aproveitado a festa do domingo de manhã para tomar todas! Todas as vagas, claro.

Sobre a prova, a questão que eu achei mais interessante para se falar aqui foi a terceira. Vamos lá!

QUESTÃO 3

Um barbante de 10 metros de comprimento será cortado em dois pedaços (não necessariamente de mesmo tamanho). Um dos pedaços será usado para se construir um quadrado e o outro pedaço será usado para se construir um triângulo equilátero.

Sendo x a medida em metros do pedaço do barbante a ser usado para construir o quadrado, determine:

a) As áreas do quadrado e do triângulo em função de x. Justifique sua resposta;

b) O valor de x que torna a soma S das áreas do quadrado e do triângulo a menor possível. Justifique sua resposta.

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Resolução:

a)

Segundo o texto, é usado um barbante de x metros para de montar o quadrado, ou seja, o perímetro do quadrado é igual a x.

Como o perímetro é a soma de todos os lados de uma figura geométrica, e o quadrado tem 4 lados iguais, podemos dizer que cada um desses lados mede x/4 metros.

Sabendo a medida do lado do quadrado fica fácil, então, acharmos sua área, basta elevar ao quadrado. (x/4)² = x²/16 m²

Já o triângulo é construído com o que restou do barbante que tinha 10 metros e foi tirado um pedaço que media x. Isto é, o perímetro do triângulo vale 10-x metros.

Como é dito no texto que o triângulo é equilátero, sabemos que ele tem 3 lados iguais, e a partir daí sabemos que cada lado mede (10-x)/3.

A área do triângulo é obtida através da fórmula: (BASE x ALTURA)/2. Já temos a medida da base, que é a medida de um lado. Falta então descobrir a altura.

Além de ter todos os lados iguais, sabemos que um triângulo equilátero tem todos os ângulos internos iguais a 60°. Podemos então achar a altura usando o seno de 60°.

Achamos a altura: [√3(10-x)²]/6

Substituímos isso na fórmula de área e chegamos ao resultado:

[100√3 - 20x√3 + x²√3]/36 m²

b)

O valor de x para que a soma das áreas seja a menor possível? Fácil. Qual é a soma das áreas?

[100√3 - 20x√3 + x²√3]/36 + x²/16

Para que essa área seja a menor possível, temos então que achar o valor mínimo dessa expressão, ou seja, igualá-la a zero. Uma equação do segundo grau ingrata, eu admito, mas vestibular não tem que ser fácil.

Essa fica para vocês.

Até a próxima!

Olá, meus amigos!

Como estão? A prova da UFF já está aí e a equipe Desconversa separou uma vídeo aula muito importante sobre análise combinatória fatorial do site Descomplica. Portanto, fiquem ligados, assistam com muita atenção e vamos nessa!

Assista ao vídeo

Boa prova da UFF, galera! Até mais!

Olá,  galera,

Hoje o Desconversa vai falar um pouco mais sobre produtos notáveis.

Vamos começar fatorando os produtos notáveis que vimos no último post.

“Como assim fatorar?”

Fatorar é apenas fazer o caminho inverso do que fizemos no último post, ou seja, se antes transformávamos (a + b)² em  a² + 2ab + b², agora transformaremos a² + 2ab + b² em (a + b)².

Como fazer isso? É simples. Quando você vir três números sendo somados, sendo dois deles o quadrado de algum outro número, e o outro número um múltiplo comum da raiz quadrada dos dois, provavelmente isso pode ser fatorado e transformado num produto notável. Vamos lá:

Você está resolvendo uma expressão e chega à seguinte sentença:

x² + 2x + 1

Repare, temos três números sendo somados, sendo o x² e o 1, os quadrados de, respectivamente, x e 1, e o 2x um múltiplo comum de x e 1. Então provavelmente podemos fatorar isso num produto notável. Como? Basta extrair as raízes dos números quadrados, usar o sinal do outro número e depois elevar ao quadrado. Veja:

x² + 2x + 1 = (x+1)², pois x =  √x² , 1 =  √1 e + é o sinal a frente do 2x

Lembra que (a + b)² corresponde ao Quadrado do primeiro termo (a) + Dobro do produto dos dois termos (2ab) + Quadrado do segundo termo (b²)?

Então, agora só precisamos conferir se no exemplo acima tudo confere. Como o resultado confere, então fatoramos o que foi pedido !!!

Exemplos:

4x² + 20x + 25 = (2x + 5)²

x² + 6x + 9 = (x + 3)²

x² + 8x/3 + 16/9 = (x + 4/3)²

Completando quadrados:

Pois é, amigos, nem sempre as contas batem na hora de conferir. O que fazer em tal situação?

Vamos usar o exemplo x² + 3x + 1

Temos dois quadrados, x e 1, e um múltiplo de suas raízes, o 3x. Fatorando isso, acharíamos (x + 1)², mas na hora de conferir, daria errado, pois 3x não é o dobro do produto entre x e 1. Como esse produto nos leva a 2x ao invés de 3x, podemos então somar x a ele, encontrando então a fatoração que queremos. Então:

x² + 3x + 1 = (x + 1)² + x

Exemplos:

x² + 15x + 25 = (x + 5)² + 10x

9x² + 50x + 81 = (3x + 9)² – 4x

x² – 8x + 9 = (x + 3)² – 2x

Diferença de dois quadrados:

A diferença de dois quadrados é outro produto notável importante. Como o nome já diz, nele temos dois quadrados sendo subtraídos:

a² – b²

Esta é a forma fatorada do produto entre (a + b) (a – b). Vocês podem conferir aplicando a distributiva.

Portanto, sempre que você ver um produto entre a soma de dois termos e a diferença desses mesmo dois termos, basta elevar os dois termos ao quadrados subtrair o primeiro pelo segundo.

Exemplos:

x² – 9 = (x+3)(x-3)

4x²- 64 = (2x+8)(2x-8)

16 – 25x² = (4 + 5x)(4 – 5x)

Por hoje é só amigos, fiquem ligados que no próximo post vem dica sobre a UFF.