Resumo: Resolução de Sistemas I

Olá, meus nerds favoritos!

Antes de tudo, gostaria de informá-los que o Descomplica está com 50% de DESCONTO!! Gente, não vamos marcar bobeira, estudar nunca é demais! Não há maneira mais fácil de estudar, sério.

Voltando ao post… Andam muito cansados? Desanimados? Podem até andar, mas perdidos não estão, porque depois daquele guia de estudos não tem como!

Hoje vamos abordar a resolução de sistemas. Conteúdo certo no vestibular, logo, precisa de nossa máxima atenção! O Post será divido em duas partes, para facilitar a assimilação da matéria em seus neurônios. Vamos começar?

Nas equações de 1º grau (ver parte 1, parte 2), cada equação tinha uma incógnita, em geral representada pela letra x. Sabemos também que qualquer equação com duas incógnitas (x e y) não pode ser resolvida porque, para cada valor de x, podemos calcular um valor diferente para y. Por exemplo, na equação 2x + y = 20, se fizermos x = 3 e x = 6 então teremos, respectivamente:

2 · 3 + y = 20 ; y = 20 – 6 = 14

2 · 6 + y = 20 ; y = 20 – 12 = 8

e assim por diante.

Sistemas Matemáticos

Vemos então que, para saber os valores corretos de x e y precisamos de uma outra informação a respeito das nossas incógnitas. Se conseguimos obter duas equações a respeito das mesmas incógnitas, temos um sistema.

Por exemplo:

2x + y = 20
3x – y = 10

É um sistema de duas equações nas incógnitas x e y. É possivel resolver esse sistema, ou seja, é possivel descobrir quais são os valores de x e y que satisfazem às duas equações simultaneamente.

Você pode verificar que x = 6 e y = 8 é a solução do nosso sistema, substituindo esses valores nas duas equações, temos:

2 · 6 + 8 = 20
3 · 6 – 8 = 10

Nesta aula vamos aprender a resolver sistemas de duas equações com duas incógnitas.

Mas, antes, vamos perceber que, para serem resolvidos, muitos problemas dependem dos sistemas.

Sistemas aparecem em problemas

Para que você perceba que os sistemas aparecem em problemas simples, imagine a situação a seguir.

Pedro e Paulo conversam despreocupadamente quando chega José, um amigo comum, que está para se aposentar. José fala sobre as idades das pessoas que se aposentam e percebe que os dois amigos aindam estão longe da aposentadoria. Então, ele pergunta:

- Que idade vocês têm?

Pedro, o mais velho, percebendo um pequeno erro na pergunta, responde:

- Nós temos 72 anos.

A conversa, então, segue assim:

José – Como? Você está brincando comigo. Esse aí não passa de um garoto e você certamente não chegou aos 50.

Pedro – Da maneira que você perguntou, eu respondi. Nós, eu e Paulo, temos juntos 72 anos.

José – Está bem, eu errei. Eu devia ter perguntado que idades vocês têm. Mas, pela sua resposta, eu não consigo saber as idades de cada um.

Pedro – É claro que não. Você tem duas coisas desconhecidas e apenas uma informação sobre elas. É preciso que eu lhe diga mais alguma coisa e, aí sim, você determina nossas idades.

José – Diga.

Pedro – Vou lhe dizer o seguinte. A minha idade é o dobro da de Paulo. Agora, José, você tem duas coisas desconhecidas, mas tem também duas informações sobre elas. Com a ajuda da matemática, você poderá saber nossas idades.

Vamos pensar um pouco no sistema apresentado. José tem duas coisas a descobrir: a idade de Pedro e a idade de Paulo. Essas são suas incógnitas.

Podemos então dar nomes a essas incógnitas:

idade de Pedro = x

idade de Paulo = y

A primeira informação que temos é que os dois juntos possuem 72 anos.

Então, nossa primeira equação é:

x + y = 72

A outra informação que temos é que a idade de Pedro é o dobro da idade de Paulo. Com isso, podemos escrever a nossa segunda equação:

x = 2y

Essas duas equações formam o nosso sistema:

x + y =72

x =2y

Esse sistema, por simplicidade, pode ser resolvido sem necessidade de nenhuma técnica especial. Se a segunda equação nos diz que x é igual a 2y, então substituiremos a letra x da primeira equação por 2y. Veja.

x+y = 72
2y+y = 72
3y = 72
3y/3 = 72/3
y = 24

Como x = 2y, então x = 2 · 24 = 48. Assim, concluimos que Pedro tem 48 anos e que Paulo tem 24.

Nem sempre os sistemas são tão simples assim. Na próxima aula, vamos aprender dois métodos que você pode usar na solução dos sistemas.
No próximo post, veremos os dois métodos de resolução de sistemas: o método da adição e o método da substituição.

(fonte Mundo Vestibular)

Postado por: Meliande em 25/1/2012
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Guia de Estudos

Olá, meus desesperadinhos!

Antes de tudo, gostaria de informá-los que o Descomplica está com 50% de DESCONTO!! Gente, não vamos marcar bobeira, estudar nunca é demais! Não há maneira mais fácil de estudar, sério.

Voltando ao post… Estamos de férias, Enem chegando, muita coisa para estudar…

Tem alguém apavorado aí? Tinha…

Hoje, separei um esqueminha de estudos com as principais matérias que vocês devem estudar ANTES do vestibular. Ao longo dos próximos posts, buscarei seguir esse esquema para ajudá-los ainda mais nessa batalha! Portanto, anotem aí e vamos começar para ontem!

Conjuntos Numéricos

1 – Números naturais, números inteiros: divisibilidade, mínimo múltiplo comum, máximo divisor comum, decomposição em fatores primos.
2 – Números racionais e noções elementares de números reais: operações e propriedades, relação de ordem, valor absoluto, desigualdades. Porcentagem.
3 – Números complexos: representação e operações com números complexos na forma algébrica e na forma trigonométrica, módulo de números complexos, raízes de números complexos.
4 – Seqüências numéricas. Progressões aritméticas e progressões geométricas. Soma de um número finito de termos de uma PA e de uma PG. Noção de limite de uma seqüência, soma dos infinitos termos de uma PG de razão com módulo
menor do que 1. Representação decimal de um número real.
Equações Algébricas
1 – Equações algébricas: definição, raiz, multiplicidade de raízes, número de raízes de uma equação.
2 – Relações entre coeficientes e raízes. Equações algébricas com coeficientes reais: pesquisa de raízes racionais, raízes complexas conjugadas.

Trigonometria

1 – Arcos e ângulos: medida de um arco (radianos), relação entre arcos e ângulos.
2 – Funções trigonométricas: definição, periodicidade, paridade, cálculo nos ângulos notáveis, gráficos.
3 – Fórmulas de adição, subtração, duplicação e bissecção de arcos. Transformações de soma de funções trigonométricas em produtos.
4 – Identidades trigonométricas básicas. Equações e inequações envolvendo funções trigonométricas.
5 – Lei dos senos e dos cossenos. Resolução de triângulos.

Geometria Plana

1 – Figuras geométricas planas: retas, semi- retas, segmentos de reta, ângulos, polígonos, circunferências, círculos.
2 – Paralelismo e perpendicularismo de retas no plano. Feixe de paralelas cortadas por transversais; Teorema de Tales.
3 – Triângulos: soma dos ângulos internos e externos de um triângulo, área de um triângulo, congruência de triângulos, semelhança de triângulos, relações métricas em triângulos, propriedades específicas de triângulos retângulos, trigonometria dos triângulos retângulos.
4 – Polígonos convexos: soma de ângulos internos e externos, congruência e semelhança de polígonos, polígonos regulares, área, propriedades específicas de trapézios, paralelogramos, losangos, retângulos e quadrados.
5 – Circunferência e Círculo: relações métricas em circunferências, comprimento da circunferência, área do círculo e de setores do círculo.
6 – Construções geométricas usando régua e compasso.

Geometria Espacial

1 – Figuras geométricas espaciais: retas e planos no espaço, ângulos diédricos e poliédricos, poliedros convexos, poliedros regulares.

2 – Posições relativas de retas e planos: paralelismo e perpendicularismo no espaço, retas reversas.
3 – Prismas, pirâmides, cilindros, cones e seus respectivos troncos: cálculo de áreas e volumes.
4 – Esfera e superfície esférica: cálculo de áreas e volumes.
5 – Semelhança de figuras planas ou espaciais: razão entre comprimentos, áreas e volumes.

Funções

1 – Noção de função. Gráficos. Função par e função ímpar. Funções crescentes e funções decrescentes. Máximos e mínimos.
2 – Função módulo, funções lineares, funções afins e funções quadráticas. Equações e inequações envolvendo estas funções.
3 – Composição e inversão de funções.
4 – Funções exponenciais e funções logarítmicas: propriedades fundamentais, gráficos, equações e inequações envolvendo estas funções.

Polinômios

1 – Grau de polinômio. Adição e multiplicação de polinômios. Princípio da identidade de polinômios.
2 – Fatoração de polinômios. Algoritmo para dividir polinômios. A divisão de um polinômio por x – a.
Combinatória e Probabilidade
1 – Problemas de contagem.
2 – Arranjos, permutações e combinações.
3 – Binômio de Newton.
4 – Probabilidade: noção e distribuição de probabilidades, probabilidade condicional e eventos independentes.
5 – Noções de Estatística: distribuição de freqüência (média e mediana), medidas de dispersão (variância e desvio padrão).

Sistemas Lineares e Matrizes

1 – Sistemas lineares: resolução e discussão.
2 – Matrizes: adição, multiplicação e inversão
de matrizes. Matrizes associadas a sistemas lineares.
3 – Determinante: propriedades e aplicações a sistemas lineares. Regra de Cramer.

Geometria Analítica

1 – Coordenadas cartesianas: localização de pontos numa reta e num plano usando coordenadas cartesianas, distância entre dois pontos, o uso de coordenadas cartesianas para a solução de problemas geométricos simples na reta e no plano.
2 – Estudo da reta em geometria analítica plana: equação da reta na forma normal, coeficiente angular, condições de paralelismo e perpendicularismo de retas, equações e inequações de primeiro grau em duas variáveis, distância de um ponto a uma reta.
3 – Estudo da circunferência em geometria analítica: equação, intersecção de retas e circunferências, retas tangentes a circunferências, intersecção e tangência de circunferências.
4 – Representação analítica de lugares geométricos, definição e representação de cônicas, equação reduzida de uma cônica,
intersecção de retas e cônicas.

Então, espero que esse esquema diminua um pouquinho seu desespero =)

Até semana que vem !

(fonte Mundo Vestibular)

Postado por: Meliande em 19/1/2012
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Resumo: Números Primos

E aí, meu povo!

Como estamos com esses estudos durante as férias? Sei que é chato, mas bola para frente que em abril temos uma batalha a ser vencida: o Enem 2012!

Para hoje, trago um resumo sobre números primos retirado do site Mundo Vestibular. Vamos que vamos!

Devemos antes de tudo lembrar o que são números primos. Definimos como números primos aqueles que são divisíveis apenas por 1 e ele mesmo. Um número seja maior do que 1 que não seja primo é chamado de composto.

Exemplos:

2 tem apenas os divisores 1 e 2, portanto 2 é primo.
23 tem apenas os divisores 1 e 23, portanto 23 é primo.
10 tem os divisores 1, 2, 5 e 10, portanto 10 não é primo.

Atenção:

1 não é um número primo, porque ele tem apenas um divisor ele mesmo.
2 é o único número primo que é par.
Os números que têm mais de dois divisores são chamados números compostos.

Exemplo:

36 tem mais de dois divisores então 36 é um número composto.

Como saber se um número é primo

Devemos dividir o número dado pelos números primos menores que ele, até obter um quociente menor ou igual ao divisor. Se nenhum das divisões for exata, o número é primo.

Decomposição em fatores primos

Todo número natural, maior que 1, pode ser escrito na forma de uma multiplicação em que todos os fatores são números primos. É o que nós chamamos de forma fatorada de um número

Decomposição do número 36:

36 = 9 x 4
36 = 3 x 3 x 2 x 2
36 = 3 x 3 x 2 x 2 = 22 x 32

No produto 2 x 2 x 3 x 3 todos os fatores são primos.

Chamamos de fatoração de 36 a decomposição de 36 num produto de fatores primos.

Então a fatoração de 36 é 22 x 32
Método Prático Escrever a Forma Fatorada de um Número Natural
Existe um dispositivo prático para fatorar um número. Acompanhe, no exemplo, os passos para montar esse dispositivo:
1º Dividimos o número pelo seu menor divisor primo;
2º A seguir, dividir o quociente obtido pelo seu menor divisor primo.
3º Proceder dessa forma, daí por diante, até obter o quociente 1.
4º A forma fatorada do número
120 = 23 x 3 x 5

Determinação dos divisores de um número

Na prática determinamos todos os divisores de um número utilizando os seus fatores primos.

Vamos determinar, por exemplo, os divisores de 72:

1º Fatoramos o número 72.

2º Traçamos uma linha e escrevemos o 1 no alto, porque ele é divisor de qualquer número.

3º Multiplicamos sucessivamente cada fator primo pelos divisores já obtidos e escrevemos esses produtos ao lado de cada fator primo.

4º Os divisores já obtidos não precisam ser repetidos.

Então o conjunto dos divisores de 72 = {1,2,3,4,6,8,9,12,18,36,72}

Então, pessoal, por hoje é só!

Até logo!

Postado por: Meliande em 17/1/2012
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Vídeo Aula – Conceitos Gerais de P.A.

Olá, meus amigos do Desconversa!

Para hoje, selecionamos uma vídeo aula muito bacana sobre conceitos gerais de P.A! É do site Descomplica, então, já sabem que melhor qualidade, impossível!

Vamos nessa!

Assista ao vídeo

Por essa semana, é só!

Até mais!

Postado por: Meliande em 12/1/2012
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